$x$ についての二次方程式 $x^2 - (a^2 - 4a + 5)x + 5a(a-4) = 0$ において、$a$ が自然数であるとする。方程式の解の差の絶対値が $8$ であるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x$ についての二次方程式 $x^2 - (a^2 - 4a + 5)x + 5a(a-4) = 0$ において、$a$ が自然数であるとする。方程式の解の差の絶対値が $8$ であるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

二次方程式の解を $\alpha$ と $\beta$ とする。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = a^2 - 4a + 5$

$\alpha \beta = 5a(a-4) = 5a^2 - 20a$

解の差の絶対値が $8$ であるから、$|\alpha - \beta| = 8$。両辺を2乗して $(\alpha - \beta)^2 = 64$。

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ であるから、

$(a^2 - 4a + 5)^2 - 4(5a^2 - 20a) = 64$

$(a^2 - 4a + 5)^2 - 20a^2 + 80a - 64 = 0$

$(a^4 - 8a^3 + 26a^2 - 40a + 25) - 20a^2 + 80a - 64 = 0$

$a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39 = 0$

この方程式を解く。自然数解を探すため、因数定理を用いる。

$a = 1$ のとき $1 - 8 + 6 + 40 - 39 = 0$ となるので、$a - 1$ を因数にもつ。

$a = 3$ のとき $81 - 8(27) + 6(9) + 40(3) - 39 = 81 - 216 + 54 + 120 - 39 = 255 - 255 = 0$ となるので、$a - 3$ を因数にもつ。

$a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39 = (a-1)(a-3)(a^2 - 4a - 13) = 0$

$a = 1$ または $a = 3$ または $a^2 - 4a - 13 = 0$

$a^2 - 4a - 13 = 0$ の解は $a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{68}}{2} = 2 \pm \sqrt{17}$ となり、自然数ではない。

したがって、$a = 1$ または $a = 3$。

$a=1$ のとき、方程式は $x^2 - (1-4+5)x + 5(1)(1-4) = 0$ より $x^2 - 2x - 15 = 0$。

$(x-5)(x+3) = 0$ より $x=5, -3$。解の差の絶対値は $|5 - (-3)| = 8$。

$a=3$ のとき、方程式は $x^2 - (9-12+5)x + 5(3)(3-4) = 0$ より $x^2 - 2x - 15 = 0$。

$(x-5)(x+3) = 0$ より $x=5, -3$。解の差の絶対値は $|5 - (-3)| = 8$。

問題文に「aの値は2つあり」と書かれているので、計算間違いがある。再度確認。

$x^2 - (a^2 - 4a + 5)x + 5a(a-4) = 0$

$\alpha + \beta = a^2 - 4a + 5$

$\alpha \beta = 5a^2 - 20a$

$(\alpha - \beta)^2 = 64$

$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 64$

$(a^2 - 4a + 5)^2 - 4(5a^2 - 20a) = 64$

$a^4 + 16a^2 + 25 - 8a^3 + 10a^2 - 40a - 20a^2 + 80a - 64 = 0$

$a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39 = 0$

$(a-1)(a^3 - 7a^2 - a + 39) = 0$

$(a-1)(a-3)(a^2 - 4a - 13) = 0$

$a = 1, 3, 2 \pm \sqrt{17}$

$2 + \sqrt{17} \approx 2 + 4.12 = 6.12$

$2 - \sqrt{17} < 0$

$a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39 = 0$に$a=6,7$を代入してみる。

$a=6$のとき $1296 - 8(216) + 6(36) + 40(6) - 39 = 1296 - 1728 + 216 + 240 - 39 = 1752 - 1767 = -15 \neq 0$

$a=7$のとき $2401 - 8(343) + 6(49) + 40(7) - 39 = 2401 - 2744 + 294 + 280 - 39 = 2975 - 2783 = 192 \neq 0$

因数分解が間違っている。

$a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39 = 0$

$(a-1)(a^3 - 7a^2 - a + 39) = 0$

$a=3$は、$a^3 - 7a^2 - a + 39 = 27 - 63 - 3 + 39 = 66 - 66 = 0$ を満たすので、$a-3$ で割り切れる。

$a^3 - 7a^2 - a + 39 = (a-3)(a^2 - 4a - 13) = 0$

したがって、$a=1$または$a=3$または$a^2 - 4a - 13 = 0$。$a^2 - 4a - 13 = 0$ の解は$a = 2 \pm \sqrt{17}$。

これらのうち自然数であるのは $a = 1, 3$。問題文の$a=6,7$ではない。

3. 最終的な答え

$a = 1, 3$