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与えられた式を計算します。式は次の通りです。 $\frac{1 + (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{n}{3^n}$

代数学分数式の計算数列
2025/6/18

1. 問題の内容

与えられた式を計算します。式は次の通りです。
1+(13)n1−13−n3n\frac{1 + (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{n}{3^n}

2. 解き方の手順

まず、分母を計算します。
1−13=33−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
次に、最初の分数を計算します。
1+(13)n23=32(1+(13)n)=32(1+13n)=32+32⋅13n=32+32⋅3n\frac{1 + (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1 + (\frac{1}{3})^n) = \frac{3}{2} (1 + \frac{1}{3^n}) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3^n} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^n}
与えられた式は次のようになります。
32+32⋅3n−n3n\frac{3}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{n}{3^n}
32+32⋅3n−2n2⋅3n\frac{3}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{2n}{2 \cdot 3^n}
32+3−2n2⋅3n\frac{3}{2} + \frac{3 - 2n}{2 \cdot 3^n}

3. 最終的な答え

32+3−2n2⋅3n\frac{3}{2} + \frac{3 - 2n}{2 \cdot 3^n}

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