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$S$ を求める問題です。与えられた式は次の通りです。 $\frac{2}{3}S = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{2 \times 3^n}$

代数学数列等比数列式の変形指数
2025/6/18

1. 問題の内容

SS を求める問題です。与えられた式は次の通りです。
23S=3n+1−3−2n2×3n\frac{2}{3}S = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{2 \times 3^n}

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形して、SS について解きます。
両辺に 32\frac{3}{2} を掛けます。
S=32×3n+1−3−2n2×3nS = \frac{3}{2} \times \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{2 \times 3^n}
次に、分子の 3n+13^{n+1} を 3×3n3 \times 3^n と書き換えます。
S=32×3×3n−3−2n2×3nS = \frac{3}{2} \times \frac{3 \times 3^n - 3 - 2n}{2 \times 3^n}
S=3(3×3n−3−2n)4×3nS = \frac{3(3 \times 3^n - 3 - 2n)}{4 \times 3^n}
S=9×3n−9−6n4×3nS = \frac{9 \times 3^n - 9 - 6n}{4 \times 3^n}
S=9×3n4×3n−9+6n4×3nS = \frac{9 \times 3^n}{4 \times 3^n} - \frac{9 + 6n}{4 \times 3^n}
S=94−3(3+2n)4×3nS = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4 \times 3^n}
S=94−3+2n4×3n−1S = \frac{9}{4} - \frac{3 + 2n}{4 \times 3^{n-1}}

3. 最終的な答え

S=9×3n−9−6n4×3n=94−3+2n4×3n−1S = \frac{9 \times 3^n - 9 - 6n}{4 \times 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{3+2n}{4 \times 3^{n-1}}

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