$x$ についての二次方程式 $x^2 - (a^2 - 4a + 5)x + 5a(a-4) = 0$ が与えられています。ここで、$a$ は自然数であり、方程式の解の差の絶対値が 8 であるような $a$ の値を 2 つ求め、ただし $6 < [7]$ とします。

1. 問題の内容

$x$ についての二次方程式 $x^2 - (a^2 - 4a + 5)x + 5a(a-4) = 0$ が与えられています。ここで、$a$ は自然数であり、方程式の解の差の絶対値が 8 であるような $a$ の値を 2 つ求め、ただし $6 < [7]$ とします。

2. 解き方の手順

与えられた二次方程式の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = a^2 - 4a + 5$

$\alpha \beta = 5a(a-4)$

また、解の差の絶対値が 8 であることから、

$|\alpha - \beta| = 8$

$(\alpha - \beta)^2 = 64$

$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 64$

$(a^2 - 4a + 5)^2 - 4(5a(a-4)) = 64$

$(a^2 - 4a + 5)^2 - 20a(a-4) = 64$

$(a^2 - 4a + 5)^2 - 20a^2 + 80a - 64 = 0$

$(a^4 + 16a^2 + 25 - 8a^3 + 10a^2 - 40a) - 20a^2 + 80a - 64 = 0$

$a^4 - 8a^3 + (16 + 10 - 20)a^2 + (-40 + 80)a + (25 - 64) = 0$

$a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39 = 0$

$f(a) = a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39$

$f(1) = 1 - 8 + 6 + 40 - 39 = 0$ より、$a=1$ は解である。

$f(3) = 81 - 8(27) + 6(9) + 40(3) - 39 = 81 - 216 + 54 + 120 - 39 = 0$ より、$a=3$ は解である。

$f(a) = (a-1)(a-3)(a^2 + k a + 13) = 0$

$(a-1)(a-3) = a^2 - 4a + 3$

$(a^2 - 4a + 3)(a^2 + ka + 13) = a^4 + ka^3 + 13a^2 - 4a^3 - 4ka^2 - 52a + 3a^2 + 3ka + 39 = a^4 + (k - 4)a^3 + (16 - 4k)a^2 + (3k - 52)a + 39$

$k - 4 = -8 \implies k = -4$

$16 - 4k = 16 - 4(-4) = 16 + 16 = 32 \neq 6$

$f(a) = (a-1)(a-3)(a^2 + pa + 13)$

$a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39 = (a^2 - 4a + 3)(a^2 + pa + 13) = a^4 + (p-4)a^3 + (16-4p)a^2 + (3p-52)a + 39$

$p-4 = -8 \implies p = -4$

$16-4p = 16-4(-4) = 32 = 6$ これは成り立たない

$3p-52 = 40 \implies 3p = 92 \implies p = 92/3$

この値を代入しても解にならないので、解は1,3ではない。

与式を $(a-1)(a^3 + A a^2 + B a + 39) = 0$ と因数分解すると計算が大変。

$a = 1, 3, 5, 7$ を代入してみる。

$f(5) = 625 - 1000 + 150 + 200 - 39 = 625 + 150 + 200 - 1000 - 39 = 975 - 1039 = -64$

$f(7) = 2401 - 8(343) + 6(49) + 40(7) - 39 = 2401 - 2744 + 294 + 280 - 39 = 2975 - 2783 = 192$

$a = 1, 3$ は解なので、それ以外の解は $(a-1)(a-3) = 0$ 以外の2次方程式の解。

$a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 40a - 39 = (a-1)(a-3)(a^2+ba+c)$

$a^2 + 13$ となることが予想される。

$a=6, f(6) = 1296 - 8(216) + 6(36) + 40(6) - 39 = 1296 - 1728 + 216 + 240 - 39 = 1752 - 1767 = -15$

$f(7) = 192, f(5) = -64, f(6) = -15$

$f(1) = 0, f(3) = 0$

$a=5$ のとき $|x_1 - x_2|=8$ を確認する

$x^2-(25-20+5)x + 5(5)(5-4) = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

このとき解の絶対値は

0. $f(5) = (x-5)(x-5)$

$a=3$ のとき $x^2 - (9-12+5)x + 5(3)(3-4) = x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3) = 0$

$x = -5, 3$ この時解の差は

8. $a=1$ のとき $x^2-(1-4+5)x + 5(1)(1-4) = x^2 - 2x -15 = (x-5)(x+3) = 0$

$x = 5, -3$ この時解の差は

8.

3. 最終的な答え

$a = 1, 3$ (ただし、$6 < [7]$という制約が意味をなさない)

問題文の指示に従うと、1と3のうち大きい方の3が[7]に入る。しかし、与えられた選択肢がないため不明。