次の方程式を解きます。 $|2x| + |x - 5| = 8$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

$|2x| + |x - 5| = 8$

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、場合分けをして解きます。絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分けします。

$|2x|$ について、$2x \ge 0$ つまり $x \ge 0$ のとき $|2x| = 2x$、$2x < 0$ つまり $x < 0$ のとき $|2x| = -2x$。

$|x - 5|$ について、$x - 5 \ge 0$ つまり $x \ge 5$ のとき $|x - 5| = x - 5$、$x - 5 < 0$ つまり $x < 5$ のとき $|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5$。

したがって、次の3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < 0$ のとき

$|2x| = -2x$、 $|x - 5| = -x + 5$ なので、方程式は

$-2x - x + 5 = 8$

$-3x = 3$

$x = -1$

これは $x < 0$ を満たすので解です。

(ii) $0 \le x < 5$ のとき

$|2x| = 2x$、 $|x - 5| = -x + 5$ なので、方程式は

$2x - x + 5 = 8$

$x = 3$

これは $0 \le x < 5$ を満たすので解です。

(iii) $x \ge 5$ のとき

$|2x| = 2x$、 $|x - 5| = x - 5$ なので、方程式は

$2x + x - 5 = 8$

$3x = 13$

$x = \frac{13}{3}$

$\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$ であるため、$x \ge 5$ を満たしません。よってこの範囲に解はありません。

3. 最終的な答え

$x = -1, 3$