2次方程式 $x^2 - 5x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。$a_n = \alpha^n + \beta^n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) とする時、以下の問いに答えよ。 (1) $a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) は整数であることを示せ。 (2) $a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を5で割った余りを求めよ。

## 問題2

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 5x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。$a_n = \alpha^n + \beta^n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) とする時、以下の問いに答えよ。

(1) $a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) は整数であることを示せ。

(2) $a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を5で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ が整数であることの証明

* $\alpha + \beta = 5$ および $\alpha \beta = -1$ である。

* $a_1 = \alpha + \beta = 5$ および $a_2 = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = 5^2 - 2(-1) = 27$ である。

* $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表すことを考える。

$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 - 5x - 1 = 0$ の解であるから、

$\alpha^2 = 5\alpha + 1$ および $\beta^2 = 5\beta + 1$ が成り立つ。

したがって、$a_{n+2} = \alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = \alpha^n \alpha^2 + \beta^n \beta^2 = \alpha^n (5\alpha + 1) + \beta^n (5\beta + 1) = 5(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) + (\alpha^n + \beta^n) = 5 a_{n+1} + a_n$

* 漸化式 $a_{n+2} = 5 a_{n+1} + a_n$ が得られた。

* $a_1 = 5$ および $a_2 = 27$ は整数である。また、漸化式より、$a_n$ が整数ならば、$a_{n+1}$ も整数である時、$a_{n+2}$ も整数となる。

* 数学的帰納法により、$a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) は整数であることが示された。

(2) $a_n$ を5で割った余りの計算

* 漸化式 $a_{n+2} = 5 a_{n+1} + a_n$ より、$a_{n+2} \equiv a_n \pmod{5}$

* したがって、$a_n$ を5で割った余りは、周期2で繰り返される。

* $a_1 = 5 \equiv 0 \pmod{5}$

* $a_2 = 27 \equiv 2 \pmod{5}$

* よって、$n$ が奇数のとき、$a_n \equiv 0 \pmod{5}$ であり、$n$ が偶数のとき、$a_n \equiv 2 \pmod{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) は整数である (証明は上記参照)。

(2) $n$ が奇数のとき、$a_n$ を5で割った余りは 0 であり、$n$ が偶数のとき、$a_n$ を5で割った余りは 2 である。