画像には、いくつかの2次不等式が含まれています。以下の不等式を解きます。 (3) $9x^2 + 6x + 1 > 0$ (4) $x^2 - 2x + 2 > 0$ (5) $x^2 + 3x - 3 < 0$ (6) $2x^2 - 2x - 1 \geq 0$ (7) $4x^2 + 12x + 9 < 0$ (8) $x^2 + 4x + 6 \leq 0$ (9) $2x^2 + 3x + 1 > 0$ (10) $3x^2 - 4x + 1 > 0$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には、いくつかの2次不等式が含まれています。以下の不等式を解きます。

(3) $9x^2 + 6x + 1 > 0$

(4) $x^2 - 2x + 2 > 0$

(5) $x^2 + 3x - 3 < 0$

(6) $2x^2 - 2x - 1 \geq 0$

(7) $4x^2 + 12x + 9 < 0$

(8) $x^2 + 4x + 6 \leq 0$

(9) $2x^2 + 3x + 1 > 0$

(10) $3x^2 - 4x + 1 > 0$

2. 解き方の手順

(3) $9x^2 + 6x + 1 > 0$

これは $(3x + 1)^2 > 0$ と書き換えられます。

$(3x + 1)^2$ は常に0以上であるため、不等式を満たすのは $3x + 1 \neq 0$ のとき、つまり $x \neq -\frac{1}{3}$ のときです。

(4) $x^2 - 2x + 2 > 0$

これは $(x - 1)^2 + 1 > 0$ と書き換えられます。

$(x - 1)^2$ は常に0以上なので、$(x - 1)^2 + 1$ は常に1以上です。したがって、全ての実数 $x$ で不等式が成り立ちます。

(5) $x^2 + 3x - 3 < 0$

解の公式を用いて、$x^2 + 3x - 3 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 12}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$

したがって、不等式の解は $\frac{-3 - \sqrt{21}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{21}}{2}$ です。

(6) $2x^2 - 2x - 1 \geq 0$

解の公式を用いて、$2x^2 - 2x - 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

したがって、不等式の解は $x \leq \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ または $x \geq \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ です。

(7) $4x^2 + 12x + 9 < 0$

これは $(2x + 3)^2 < 0$ と書き換えられます。

$(2x + 3)^2$ は常に0以上であるため、この不等式を満たす $x$ は存在しません。

(8) $x^2 + 4x + 6 \leq 0$

これは $(x + 2)^2 + 2 \leq 0$ と書き換えられます。

$(x + 2)^2$ は常に0以上なので、$(x + 2)^2 + 2$ は常に2以上です。したがって、この不等式を満たす $x$ は存在しません。

(9) $2x^2 + 3x + 1 > 0$

これは $(2x + 1)(x + 1) > 0$ と因数分解できます。

したがって、不等式の解は $x < -1$ または $x > -\frac{1}{2}$ です。

(10) $3x^2 - 4x + 1 > 0$

これは $(3x - 1)(x - 1) > 0$ と因数分解できます。

したがって、不等式の解は $x < \frac{1}{3}$ または $x > 1$ です。

3. 最終的な答え

(3) $x < -\frac{1}{3}$ または $x > -\frac{1}{3}$

(4) すべての実数

(5) $\frac{-3 - \sqrt{21}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{21}}{2}$

(6) $x \leq \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ または $x \geq \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

(7) 解なし

(8) 解なし

(9) $x < -1$ または $x > -\frac{1}{2}$

(10) $x < \frac{1}{3}$ または $x > 1$