3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 2x + 7 = 0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ (2) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ (3) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ (4) $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$ (5) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 2x + 7 = 0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$

(2) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

(4) $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$

(5) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から以下が成り立ちます。

$\alpha + \beta + \gamma = 3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -2$

$\alpha\beta\gamma = -7$

(1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \frac{-2}{-7} = \frac{2}{7}$

(2) $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

より、

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = (3)^2 - 2(-2) = 9 + 4 = 13$

(3) $\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3 - 3x^2 - 2x + 7 = 0$ の解なので、

$\alpha^3 - 3\alpha^2 - 2\alpha + 7 = 0$

$\beta^3 - 3\beta^2 - 2\beta + 7 = 0$

$\gamma^3 - 3\gamma^2 - 2\gamma + 7 = 0$

したがって、

$\alpha^3 = 3\alpha^2 + 2\alpha - 7$

$\beta^3 = 3\beta^2 + 2\beta - 7$

$\gamma^3 = 3\gamma^2 + 2\gamma - 7$

これらを足し合わせると、

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 2(\alpha + \beta + \gamma) - 21 = 3(13) + 2(3) - 21 = 39 + 6 - 21 = 24$

(5) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = 1 - (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - \alpha\beta\gamma = 1 - (3) + (-2) - (-7) = 1 - 3 - 2 + 7 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{7}$

(2) $13$

(3) $24$

(5) $3$