与えられた数学の問題を解きます。問題は、計算、因数分解、確率、幾何、連立方程式など、多岐にわたります。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解きます。問題は、計算、因数分解、確率、幾何、連立方程式など、多岐にわたります。

2. 解き方の手順

各問題を順番に解いていきます。

(1) 計算問題

1. $-1 - (-9) = -1 + 9 = 8$

2. $\frac{3}{7} + (-\frac{15}{14}) = \frac{6}{14} - \frac{15}{14} = -\frac{9}{14}$

3. $12ab^2 + 3ab \times (-4b) = 12ab^2 - 12ab^2 = 0$

4. $(1+\sqrt{3})^2 - \frac{3}{\sqrt{3}} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3}$

5. $(x-4)(x+1)-(x-5)(x+5) = x^2 - 3x - 4 - (x^2 - 25) = x^2 - 3x - 4 - x^2 + 25 = -3x + 21$

(2) その他の問題

1. $x^2 + 15x + 36$を因数分解する。

$x^2 + 15x + 36 = (x+3)(x+12)$

2. $\sqrt{\frac{84a}{5}}$ が自然数となるような最小の自然数 $a$ を求める。

$\sqrt{\frac{84a}{5}} = \sqrt{\frac{2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot a}{5}}$

$a$ は $3 \cdot 5 \cdot 7$ の倍数である必要があるので、 $a = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$のとき$\sqrt{\frac{84a}{5}} = \sqrt{\frac{2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{5}} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$となる。

したがって、$a = 105$

3. $y$ は $x$ に比例し、$x=3$ のとき $y=-2$ である。$x$ の変域が $-6 \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域を求める。

$y = kx$ とおく。$x=3$ のとき $y=-2$ なので、$-2 = 3k$ より $k = -\frac{2}{3}$

$y = -\frac{2}{3}x$

$x = -6$ のとき $y = -\frac{2}{3}(-6) = 4$

$x = 1$ のとき $y = -\frac{2}{3}(1) = -\frac{2}{3}$

したがって、$-\frac{2}{3} \le y \le 4$

4. 累積相対度数から$x$と$y$を求める。

50点未満の累積相対度数が0.3なので、$(3 + x) / 40 = 0.3$

$3 + x = 12$

$x = 9$

合計が40人なので、$3 + x + 16 + y + 2 = 40$

$3 + 9 + 16 + y + 2 = 40$

$30 + y = 40$

$y = 10$

5. 大小2つのサイコロの目を$a, b$とするとき、$2a-b$が負の数になる確率を求める。

$2a - b < 0 \implies 2a < b$

$a=1$のとき、$b=3,4,5,6$の4通り

$a=2$のとき、$b=5,6$の2通り

したがって、確率は$\frac{4+2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

6. 平行四辺形ABCDの$\angle x$を求める。

$\angle ADC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

$\angle DAC = 105^\circ - 55^\circ = 50^\circ$

$\angle x = \angle DAC = 50^\circ$

7. 点Aにおける円Oの接線を作図する（作図手順省略）

8. 連立方程式を立てて、蛇口AとBから1分間に出る水の量を求める。

蛇口Aから1分間に出る水の量を $x$ m³, 蛇口Bから1分間に出る水の量を $y$ m³とする。

$20x + 12(x+y) = 200$

$20y + 8(x+y) = 200$

整理すると

$32x + 12y = 200$

$8x + 28y = 200$

$8x + 3y = 50$

$2x + 7y = 50$

$16x + 6y = 100$

$6x + 21y = 150$

$8x+3y = 50$ より、$16x+6y = 100$

$2x + 7y = 50$ より $4x+14y=100$

$8x+3y=50$ より $8x = 50-3y$

$2(50-3y)+7y = 100$

$100-6y+7y=100$

$y=0$

$8x=50 \implies x=25/4 = 6.25$

計算間違いがあるので計算し直す。

$32x + 12y = 200 \implies 8x + 3y = 50 \dots (1)$

$8x + 28y = 200 \implies 2x + 7y = 50 \dots (2)$

(1) より $8x = 50-3y$

(2) * 4 より $8x + 28y = 200$

$50 - 3y + 28y = 200$

$25y = 150 \implies y = 6$

$8x = 50 - 3(6) = 50 - 18 = 32$

$x = 4$

したがって、蛇口Aから1分間に出る水の量は 4 m³、蛇口Bから1分間に出る水の量は 6 m³。

3. 最終的な答え

(1) 計算問題

1. 8

2. -9/14

3. 0

4. $4 + \sqrt{3}$

5. $-3x + 21$

(2) その他の問題

1. $(x+3)(x+12)$

2. 105

3. $-\frac{2}{3} \le y \le 4$

4. $x = 9, y = 10$

5. $\frac{1}{6}$

6. $50^\circ$

7. （作図省略）

8. 蛇口A: 4 m³/分, 蛇口B: 6 m³/分