問題は2つのパートに分かれています。 パート1は、$0 \le x \le 2$ の範囲で定義された関数 $y = 9^x - 4 \cdot 3^x + 5$ の最大値と最小値を求める問題です。 パート2は、数列 $\{a_n\}$ が与えられた条件 $a_1 = 3$ と漸化式によって定義されるとき、$a_2$, $a_3$ の値を求め、漸化式を$a_n$を用いて表し、一般項$a_n$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1は、$0 \le x \le 2$ の範囲で定義された関数 $y = 9^x - 4 \cdot 3^x + 5$ の最大値と最小値を求める問題です。

パート2は、数列 $\{a_n\}$ が与えられた条件 $a_1 = 3$ と漸化式によって定義されるとき、$a_2$, $a_3$ の値を求め、漸化式を$a_n$を用いて表し、一般項$a_n$を求める問題です。

2. 解き方の手順

パート1：

まず、$t = 3^x$ とおくと、$1 \le t \le 9$ となります。

$y = t^2 - 4t + 5$ となり、平方完成すると $y = (t - 2)^2 + 1$ となります。

$1 \le t \le 9$ の範囲で、$t = 9$ のとき最大値 $y = (9-2)^2 + 1 = 49 + 1 = 50$ をとり、$t=2$のとき最小値 $y = (2-2)^2 + 1 = 1$ をとります。

$t = 9$ のとき $3^x = 9$ なので $x = 2$ です。$x = 2$ のとき最大値50をとります。

$t = 2$ のとき $3^x = 2$ なので $x = \log_3 2$ です。$x = \log_3 2$ のとき最小値1をとります。

パート2：

(1) $a_1 = 3$ であり、$a_{n+1} = 2a_n - 1$ が与えられています。

$a_2 = 2a_1 - 1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$

$a_3 = 2a_2 - 1 = 2(5) - 1 = 10 - 1 = 9$

(2) 漸化式は問題文より $a_{n+1} = 2a_n - 1$ です。選択肢④が正解です。

(3) $a_{n+1} = 2a_n - 1$ を変形すると $a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$ となります。

数列$\{a_n - 1\}$ は初項 $a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$, 公比2の等比数列です。

よって $a_n - 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

したがって $a_n = 2^n + 1$

3. 最終的な答え

パート1：

x=2のとき、最大値50

x=log3(2)のとき、最小値1

パート2：

(1) $a_2 = 5$, $a_3 = 9$

(2) $a_{n+1} = 2a_n - 1$

(3) $a_n = 2^n + 1$