$t = \frac{l}{v_0}$

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1. 問題の内容

質量 $m$、電荷 $-e$ を持つ電子が、大きさ $E$ の一様な静電場の中に、初速度 $v_0$ で入射する。電子が水平方向（$x$ 軸方向）に距離 $l$ だけ進んだときの、垂直方向（$y$ 軸方向）の変位を求める。ただし、重力は無視できる。

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2. 解き方の手順

1. **$x$ 軸方向の運動**: 静電場は $y$ 軸方向のみに存在するため、$x$ 軸方向には力が働かない。したがって、$x$ 軸方向の速度は一定である。電子が距離 $l$ 進むのにかかる時間 $t$ は、

$t = \frac{l}{v_0}$

2. **$y$ 軸方向の運動**: 電子は負電荷を持つため、上向きの静電場 $E$ により、$y$ 軸方向には下向きの力 $F$ を受ける。

$F = eE$

この力により、$y$ 軸方向の加速度 $a$ が生じる。

$a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$

電子は初速度 $v_{0y} = 0$ で、$y$ 軸方向に等加速度運動を行う。したがって、時間 $t$ 後の $y$ 軸方向の変位 $y$ は、

$y = v_{0y}t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}\frac{eE}{m}t^2 = \frac{1}{2}\frac{eE}{m}t^2$

3. **$t$ の代入**: $t = \frac{l}{v_0}$ を上記の式に代入する。

$y = \frac{1}{2}\frac{eE}{m}(\frac{l}{v_0})^2 = \frac{eEl^2}{2mv_0^2}$

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3. 最終的な答え

電子の金属板と垂直な方向への変位は、

$\frac{eEl^2}{2mv_0^2}$