与えられた硬貨を使って、ちょうど支払うことができる金額は何通りあるか、という問題です。3つのケースについて、それぞれの金額の組み合わせの数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた硬貨を使って、ちょうど支払うことができる金額は何通りあるか、という問題です。3つのケースについて、それぞれの金額の組み合わせの数を求めます。

2. 解き方の手順

各ケースについて、以下の手順で解きます。

1. 各硬貨の枚数に1を足し合わせる（0枚の場合を含むため）。

2. 各硬貨の組み合わせの総数を求めるために、足し合わせた数をすべて掛け合わせる。

3. 上記で求めた総数から、0円の場合を除外するために1を引く。

4. 重複している金額がないか確認し、重複している場合は重複分を引く。

(1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚の場合

1. 10円: 4 + 1 = 5, 50円: 1 + 1 = 2, 100円: 3 + 1 = 4

2. 5 \* 2 \* 4 = 40

3. 40 - 1 = 39

4. 10円硬貨4枚で最大40円、50円硬貨1枚で50円まで払えるため、重複する金額はない。

よって、39通り。

(2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚の場合

1. 10円: 2 + 1 = 3, 50円: 3 + 1 = 4, 100円: 3 + 1 = 4

2. 3 \* 4 \* 4 = 48

3. 48 - 1 = 47

4. 10円硬貨2枚で最大20円、50円硬貨3枚で150円まで払える。

10円2枚は50円3枚に影響しない。

100円硬貨3枚で300円まで払えるので、重複はない。

よって、47通り。

(3) 10円硬貨7枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚の場合

1. 10円: 7 + 1 = 8, 50円: 1 + 1 = 2, 100円: 3 + 1 = 4

2. 8 \* 2 \* 4 = 64

3. 64 - 1 = 63

4. 10円硬貨7枚で最大70円、50円硬貨1枚で50円まで払えるため、10円硬貨5枚 = 50円1枚 となるので、重複が発生する。

10円を5枚以上使う場合を考える。

10円を5, 6, 7枚使う時に、50円を使わない場合は、それぞれ50円, 60円, 70円。

10円を5, 6, 7枚使う時に、50円を使う場合は、それぞれ100円, 110円, 120円。

10円を0～4枚使う場合、50円を使う使わないに関わらず、金額は重複しない。

重複するのは、10円5枚以上を使い、50円を使わない金額なので、3通り。

よって、63 - 3 = 60通り。

3. 最終的な答え

(1) 39通り

(2) 47通り

(3) 60通り