方程式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = 2$ を解いて、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

方程式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = 2$ を解いて、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って左辺をまとめます。

$\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(xy)$ なので、

$\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = \log_2((x+1)(x-2))$

したがって、与えられた方程式は、

$\log_2((x+1)(x-2)) = 2$

となります。次に、対数の定義から、$y = \log_a(x)$ ならば $x = a^y$ なので、

$(x+1)(x-2) = 2^2$

$(x+1)(x-2) = 4$

展開して整理すると、

$x^2 - 2x + x - 2 = 4$

$x^2 - x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

この二次方程式を因数分解すると、

$(x-3)(x+2) = 0$

よって、$x=3$ または $x=-2$ が解の候補です。

ただし、対数の真数は正である必要があるため、$x+1>0$ かつ $x-2>0$ を満たす必要があります。つまり、$x>-1$ かつ $x>2$ である必要があります。したがって、$x>2$ でなければなりません。

$x=3$ は $x>2$ を満たしますが、$x=-2$ は $x>2$ を満たしません。よって、$x=-2$ は不適です。

したがって、$x=3$ が解となります。

3. 最終的な答え

3