$x \neq 0$, $y \neq 0$, $x \neq y$ のとき、$x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{x}$ を満たす $x, y$ に対して、$x^2y^2 - xy - 6$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x \neq 0$, $y \neq 0$, $x \neq y$ のとき、$x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{x}$ を満たす $x, y$ に対して、$x^2y^2 - xy - 6$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{x}$を変形する。

両辺に $xy$ を掛けると、

$x^2y + x = xy^2 + y$

$x^2y - xy^2 + x - y = 0$

$xy(x - y) + (x - y) = 0$

$(xy + 1)(x - y) = 0$

問題文より $x \neq y$ であるから、$x - y \neq 0$。したがって、

$xy + 1 = 0$

$xy = -1$

求める式の値を計算する。

$x^2y^2 - xy - 6 = (xy)^2 - xy - 6$

$xy = -1$ を代入すると、

$(-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = 2 - 6 = -4$

3. 最終的な答え

-4