問題は、$(x+3)^6$ を展開することです。

1. 問題の内容

問題は、$(x+3)^6$ を展開することです。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

今回の問題では、$a=x$, $b=3$, $n=6$ なので、

$(x+3)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} 3^k$

各項を計算します。

$k=0$: $\binom{6}{0}x^6 3^0 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 = x^6$

$k=1$: $\binom{6}{1}x^5 3^1 = 6 \cdot x^5 \cdot 3 = 18x^5$

$k=2$: $\binom{6}{2}x^4 3^2 = 15 \cdot x^4 \cdot 9 = 135x^4$

$k=3$: $\binom{6}{3}x^3 3^3 = 20 \cdot x^3 \cdot 27 = 540x^3$

$k=4$: $\binom{6}{4}x^2 3^4 = 15 \cdot x^2 \cdot 81 = 1215x^2$

$k=5$: $\binom{6}{5}x^1 3^5 = 6 \cdot x \cdot 243 = 1458x$

$k=6$: $\binom{6}{6}x^0 3^6 = 1 \cdot 1 \cdot 729 = 729$

したがって、

$(x+3)^6 = x^6 + 18x^5 + 135x^4 + 540x^3 + 1215x^2 + 1458x + 729$

3. 最終的な答え

$x^6 + 18x^5 + 135x^4 + 540x^3 + 1215x^2 + 1458x + 729$