2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$ (5) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (6) $\alpha^5 + \beta^5$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

(5) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(6) $\alpha^5 + \beta^5$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -(-2)/1 = 2$

$\alpha \beta = 3/1 = 3$

これらを用いて各値を計算していきます。

(1) $\alpha + \beta = 2$

(2) $\alpha \beta = 3$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = 2^2 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3 \alpha \beta) = 2(2^2 - 3 \cdot 3) = 2(4 - 9) = 2(-5) = -10$

(5) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = 3 \cdot 2 = 6$

(6) $\alpha^5 + \beta^5$ を計算するためには、まず $(\alpha^2 + \beta^2)(\alpha^3 + \beta^3)$ を計算します。

$(\alpha^2 + \beta^2)(\alpha^3 + \beta^3) = \alpha^5 + \alpha^2 \beta^3 + \alpha^3 \beta^2 + \beta^5 = \alpha^5 + \beta^5 + \alpha^2 \beta^2 (\beta + \alpha)$

よって、 $\alpha^5 + \beta^5 = (\alpha^2 + \beta^2)(\alpha^3 + \beta^3) - \alpha^2 \beta^2 (\alpha + \beta)$

$\alpha^5 + \beta^5 = (-2)(-10) - (3^2)(2) = 20 - 9(2) = 20 - 18 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = 2$

(2) $\alpha \beta = 3$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = -2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = -10$

(5) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = 6$

(6) $\alpha^5 + \beta^5 = 2$