与えられた式 $x^2 + y^2 + xz - yz - 2xy$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + y^2 + xz - yz - 2xy$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。$x$ に関して整理すると、

$x^2 + (z-2y)x + (y^2 - yz)$

となります。

次に、定数項 $(y^2 - yz)$ を因数分解します。

$y^2 - yz = y(y-z)$

因数分解後の形を $(x + ay)(x + b(y-z))$ と仮定すると、$a$ と $b$ は定数です。

展開すると

$x^2 + (a+b)xy - b xz + ab y(y-z) = x^2 + (a+b)xy + ab y^2 - ab yz$

与えられた式と比較すると、

$a + b = -2$

$-b = 1$

$ab = 1$

$-ab = -1$

したがって、$b = -1$ であり、$a - 1 = -2$ から $a = -1$ が得られます。

よって、与えられた式は

$x^2 - 2xy + xz - yz + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 + xz - yz = (x-y)^2 + z(x-y) = (x-y)(x-y+z)$

3. 最終的な答え

$(x-y)(x-y+z)$