問題8は、平方根に関する基本的な計算問題です。問題9は、$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ のとき、$x+y$、$x^2+y^2$、$x^2y+xy^2$ の値を求める問題です。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

問題8は、平方根に関する基本的な計算問題です。問題9は、$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ のとき、$x+y$、$x^2+y^2$、$x^2y+xy^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題8：

(1) 2乗すると7になる数は、$\sqrt{7}$と$-\sqrt{7}$です。

(2) 10の平方根は、$\sqrt{10}$と$-\sqrt{10}$です。

(3) $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6$です。

(4) $-\sqrt{64} = -8$です。

問題9：

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

(1) $x+y = (\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5}$

(2) $x^2+y^2 = (\sqrt{5}+2)^2 + (\sqrt{5}-2)^2 = (5+4\sqrt{5}+4) + (5-4\sqrt{5}+4) = 9+4\sqrt{5} + 9-4\sqrt{5} = 18$

(3) $x^2y+xy^2 = xy(x+y)$

$xy = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = 5-4=1$

よって、$x^2y+xy^2 = 1 \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題8：

(1) $\sqrt{7}$, $-\sqrt{7}$

(2) $\sqrt{10}$, $-\sqrt{10}$

(3) 6

(4) -8

問題9：

(1) $2\sqrt{5}$

(2) 18

(3) $2\sqrt{5}$