ある高校の1年生全員が長いすに座る。1脚に6人ずつ座ると15人が座れない。1脚に7人ずつ座ると、使わない長いすが3脚できる。長いすの数は何脚以上何脚以下か。

1. 問題の内容

ある高校の1年生全員が長いすに座る。1脚に6人ずつ座ると15人が座れない。1脚に7人ずつ座ると、使わない長いすが3脚できる。長いすの数は何脚以上何脚以下か。

2. 解き方の手順

長いすの数を $x$ 脚とする。

生徒の人数を $y$ 人とする。

6人ずつ座ると15人が座れないので、

$y = 6x + 15$

7人ずつ座ると3脚使わないので、座っている長いすは $x - 3$ 脚。このとき、全員が座っているか、もしくは一部の生徒は座っている可能性がある。

全員が座っている場合は $7(x-3) \ge y$。

一部の生徒が座っている場合は $7(x-4) < y$。

$7(x-4)$ という式は、$x-4$ 脚に7人ずつ座り、最後の長いすに1人以上7人以下が座っている状態を表す。

使わない長いすが3脚あり、残りの長いすに7人ずつ座ると、最後の長いすには少なくとも1人座る。つまり、 $x-4$ 脚までは満席で、最後の1脚には1人以上座っている。 $x-4$ 脚に7人ずつ座っても生徒全員を座らせることができない場合、その生徒数は $7(x-4)$ より大きい。一方、すべての生徒が座った場合、その人数は $7(x-3)$ 以下となる。

$y = 6x + 15$を代入して、

$7(x-3) \ge 6x + 15$

$7x - 21 \ge 6x + 15$

$x \ge 36$

$7(x-4) < 6x + 15$

$7x - 28 < 6x + 15$

$x < 43$

したがって、$36 \le x < 43$

$x$は整数なので、$x \le 42$

したがって、長いすの数は36脚以上42脚以下。

3. 最終的な答え

36脚以上42脚以下