与えられた式 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$ を計算し、その結果を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$ を計算し、その結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

この式を展開するために、まず、$\sqrt{2}$ を共通項としてまとめると、

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}) = (\sqrt{2} + (\sqrt{3} - \sqrt{5}))(\sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{5}))$

となります。

ここで、$A = \sqrt{2}$, $B = \sqrt{3} - \sqrt{5}$ とおくと、与式は $(A+B)(A-B)$ となります。これは、$A^2 - B^2$ で計算できます。

$A^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$B^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 - 2\sqrt{15} + 5 = 8 - 2\sqrt{15}$

したがって、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 = 2 - (8 - 2\sqrt{15}) = 2 - 8 + 2\sqrt{15} = -6 + 2\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$-6 + 2\sqrt{15}$