問題10：全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U)=60, n(A)=30, n(B)=25$である。このとき、次の個数のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{A \cap B})$

1. 問題の内容

問題10：全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U)=60, n(A)=30, n(B)=25$である。このとき、次の個数のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求める。

$A \cap B$ が最大となるのは、$B \subseteq A$ のときで、このとき $n(A \cap B) = n(B) = 25$

$A \cap B$ が最小となるのは、$n(A \cup B)$ が最大となるとき。

$n(A \cup B)$ は最大で $n(U)=60$ なので、$n(A \cup B) = 60$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より

$60 = 30 + 25 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 30 + 25 - 60 = 55 - 60 = -5$

これはあり得ないので、$A \cap B = 0$

（ベン図で考えると、$AとBが重ならない場合が最小）

(2) $n(A \cup B)$ の最大値と最小値を求める。

$n(A \cup B)$ が最大となるのは、$A \cup B = U$ のときで、$n(A \cup B) = n(U) = 60$

$n(A \cup B)$ が最小となるのは、$A \subseteq B$ または $B \subseteq A$ のとき。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

(1)より、$n(A \cap B)$が最大になるとき、$n(A \cap B)=25$より、$B \subseteq A$のとき$n(A \cup B)$は最小値を取り

$n(A \cup B) = 30$

(3) $n(\overline{A \cap B})$ の最大値と最小値を求める。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$

$n(A \cap B)$ が最大のとき、$n(\overline{A \cap B})$ は最小になる。

$n(A \cap B)$ が最小のとき、$n(\overline{A \cap B})$ は最大になる。

$n(A \cap B)$ の最大値は25、最小値は0であるから、

$n(\overline{A \cap B})$ の最大値は $60 - 0 = 60$

$n(\overline{A \cap B})$ の最小値は $60 - 25 = 35$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B)$ の最大値は25、最小値は0。

(2) $n(A \cup B)$ の最大値は60、最小値は30。

(3) $n(\overline{A \cap B})$ の最大値は60、最小値は35。