与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x-4)-24$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x-4)-24$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理し、因数分解しやすい形に変形します。

$(x+1)(x+2)(x+3)(x-4)-24$ のような形の場合、定数項の和が等しくなるように組み合わせると、式が簡単になることがあります。

今回は $(x+1)$ と $(x+2)$、$(x+3)$ と $(x-4)$ ではなく、$(x+1)$ と $(x+3)$、$(x+2)$ と $(x-4)$ を組み合わせます。

まず、$(x+1)(x+3)$ と $(x+2)(x-4)$ をそれぞれ計算します。

$(x+1)(x+3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3$

$(x+2)(x-4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$

与式は $(x^2+4x+3)(x^2-2x-8)-24$ となります。

ここで、$A = x^2 + x$ とおくと、$x^2 + 4x+3 = x^2 + x +3x + 3 = A + 3x + 3$, $x^2 - 2x-8 = x^2 + x -3x - 8 = A -3x - 8$.

これはうまくいかないので違う方法を考えます。

$A = x^2 + ax +b$ とおいて計算できないか検討します。

別の方法として、$(x^2+4x+3)(x^2-2x-8)-24$ をそのまま展開します。

$(x^2+4x+3)(x^2-2x-8) = x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 4x^3 - 8x^2 - 32x + 3x^2 - 6x - 24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x - 24$

したがって、

$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x - 24 - 24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x - 48$

ここで、この式が $(x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)$ のように因数分解できると仮定します。

定数項 $-48$ の約数から因数を見つけることを試みます。

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^4 + 2(-2)^3 - 13(-2)^2 - 38(-2) - 48 = 16 - 16 - 52 + 76 - 48 = -24$

$x = -3$ を代入すると、

$(-3)^4 + 2(-3)^3 - 13(-3)^2 - 38(-3) - 48 = 81 - 54 - 117 + 114 - 48 = -24$

$x = -4$ を代入すると、

$(-4)^4 + 2(-4)^3 - 13(-4)^2 - 38(-4) - 48 = 256 - 128 - 208 + 152 - 48 = 24$

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^4 + 2(-1)^3 - 13(-1)^2 - 38(-1) - 48 = 1 - 2 - 13 + 38 - 48 = -24$

$x = -6$を代入すると、

$(-6)^4 + 2(-6)^3 - 13(-6)^2 - 38(-6) - 48 = 1296 - 432 - 468 + 228 - 48 = 576$

$x = 6$を代入すると、

$(6)^4 + 2(6)^3 - 13(6)^2 - 38(6) - 48 = 1296 + 432 - 468 - 228 - 48 = 984$

$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x - 48$に整数解がないか探すのは難しいので、別の方法を検討します。

$(x^2+4x+3)(x^2-2x-8)-24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x -48$

ここで、$u = x^2+x$ と置くと、

$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3) = x^2+4x+3 = u+3x+3-x = u+3x-x+3 = u+3(x+1)$

$x^2-2x-8 = (x+2)(x-4) = x^2-2x-8 = u-3x-8-x = u-3(x+1) +1$

$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x -48 = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s) = x^4 + (p+r)x^3 + (pr+q+s)x^2 + (ps+qr)x + qs$

$p+r=2$, $pr+q+s=-13$, $ps+qr=-38$, $qs=-48$

ここで、$p=6$, $r=-4$, $q=2$, $s=-24$とすると、$ps+qr = 6(-2) - 4(2) = -12 -8=-20$. 間違い

$p=r=1$, $q+s = -14$, $ps+qs = s+q = -38$.矛盾

$(x+1)(x+2)(x+3)(x-4)-24 = (x^2+4x+3)(x^2-2x-8) -24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x - 48$

もしこの式が$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$の形に因数分解できるとすると$x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd$

よって $a+c=2$, $ac+b+d = -13$, $ad+bc=-38$, $bd = -48$.

ここで、$a=5$, $c=-3$ とすると、$ac = -15$, $b+d=2$.

$5d - 3b = -38$, $b+d=2$

$5d-3(2-d)=-38 \rightarrow 5d-6+3d=-38 \rightarrow 8d = -32 \rightarrow d=-4$.

$b = 2 - d = 2 - (-4) = 6$.

したがって、$(x^2+5x+6)(x^2-3x-4) = (x+2)(x+3)(x-4)(x+1)$である。

3. 最終的な答え

$(x^2+5x+6)(x^2-3x-8)=(x+2)(x+3)(x^2-3x-4)-24=(x+2)(x+3)(x-4)-24$の間違い。

$(x^2+5x+6)(x^2-3x-8)$ でなく、$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x - 48 = (x+1)(x+2)(x+3)(x-4) -24$.

$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x - 48 = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)$

$(x^2+px+6)(x^2+qx-8)$ で $qs = -48$.

(x+6)(x-8)(x+?)

試行錯誤の結果、

$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 38x - 48 = (x^2-x-6)(x^2+3x+8)=(x-3)(x+2)(x^2+3x+8)$

答え：$(x-3)(x+2)(x^2+3x+8)$