与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1\cdot1 + 2\cdot3 + 3\cdot3^2 + 4\cdot3^3 + \dots + n\cdot3^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1\cdot1 + 2\cdot3 + 3\cdot3^2 + 4\cdot3^3 + \dots + n\cdot3^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1\cdot1 + 2\cdot3 + 3\cdot3^2 + 4\cdot3^3 + \dots + n\cdot3^{n-1}$

次に、$3S$ を書き出します。

$3S = 1\cdot3 + 2\cdot3^2 + 3\cdot3^3 + 4\cdot3^4 + \dots + n\cdot3^{n}$

$S - 3S$ を計算します。

$S - 3S = 1 + (2\cdot3 - 1\cdot3) + (3\cdot3^2 - 2\cdot3^2) + (4\cdot3^3 - 3\cdot3^3) + \dots + (n\cdot3^{n-1} - (n-1)\cdot3^{n-1}) - n\cdot3^n$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} - n\cdot3^n$

等比数列の和の公式を使用します。

$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n\cdot3^n$

$2S = n\cdot3^n - \frac{3^n - 1}{2} = \frac{2n\cdot3^n - 3^n + 1}{2}$

$S = \frac{2n\cdot3^n - 3^n + 1}{4} = \frac{(2n-1)\cdot3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$