与えられた式 $(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2(x+y)$ の部分を展開します。

$(x-y)^2 = (x-y)(x-y) = x^2 - 2xy + y^2$

$(x-y)^2(x+y) = (x^2 - 2xy + y^2)(x+y) = x^3 + x^2y - 2x^2y - 2xy^2 + xy^2 + y^3 = x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$

次に、$(x^2+xy+y^2)(x-y)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

$(x-y)(x+y)= x^2 -y^2$ を使う

$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$を用いると

$(x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3 - y^3$

したがって、与式は

$(x^3-y^3)(x^2+y^2)(x+y)(x-y) = (x^3-y^3)(x^2+y^2)(x^2-y^2)$となります。

次に、$(x^3-y^3)(x^2+y^2)$ を展開します。

$(x^3-y^3)(x^2+y^2) = x^5 + x^3y^2 - x^2y^3 - y^5$

したがって、与式は

$(x^5 + x^3y^2 - x^2y^3 - y^5)(x^2-y^2) = x^7 - x^5y^2 + x^5y^2 - x^3y^4 - x^4y^3 + x^2y^5 - x^2y^5 + y^7 = x^7 - x^4y^3 - x^3y^4 + y^7$

与式 $= (x^3-y^3)(x^2+y^2)(x^2-y^2) = (x^3-y^3)(x^4-y^4) = x^7 - x^3y^4 -x^4y^3 + y^7$

したがって

$x^7 - x^4y^3 - x^3y^4 + y^7$

3. 最終的な答え

$x^7 - x^4y^3 - x^3y^4 + y^7$