$a \neq 0$ のとき、式 $(1+x+ax^2)^6$ を展開したときの $x^4$ の係数を求め、その係数を最小にする $a$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \neq 0$ のとき、式 $(1+x+ax^2)^6$ を展開したときの $x^4$ の係数を求め、その係数を最小にする $a$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(1+x+ax^2)^6$ の展開における $x^4$ の項を求める。多項定理を用いる。

$x^4$の項は、$(1+x+ax^2)^6$ の展開において、$1$, $x$, $ax^2$ の指数をそれぞれ $p, q, r$ とすると、

$p+q+r = 6$

$q+2r = 4$

を満たす組み合わせについて考える。

ありうる組み合わせは以下の通りである。

* $r=0, q=4, p=2$: $1^2 x^4 (ax^2)^0$ の項の係数は $\frac{6!}{2!4!0!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

* $r=1, q=2, p=3$: $1^3 x^2 (ax^2)^1$ の項の係数は $\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2} = 60$

* $r=2, q=0, p=4$: $1^4 x^0 (ax^2)^2$ の項の係数は $\frac{6!}{4!0!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

したがって、$x^4$ の係数は

$15 \cdot 1^2 \cdot 1^0 + 60 \cdot 1^1 \cdot a^1 + 15 \cdot 1^0 \cdot a^2 = 15 + 60a + 15a^2 = 15(a^2 + 4a + 1)$

この係数を $f(a)$ とすると、$f(a) = 15a^2 + 60a + 15 = 15(a^2 + 4a + 1) = 15((a+2)^2 - 4 + 1) = 15((a+2)^2 - 3) = 15(a+2)^2 - 45$

$f(a)$ は $a=-2$ のとき最小値 $-45$ をとる。

3. 最終的な答え

$a = -2$ のとき最小値 $-45$ をとる。