実数 $x$ に関する4つの命題の真偽を、集合を用いて調べる問題です。 (1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$ (2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$ (3) $x > 3 \implies |x+1| > 2$ (4) $|x| \leq 2 \implies |x-1| < 3$

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する4つの命題の真偽を、集合を用いて調べる問題です。

(1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$

(2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$

(3) $x > 3 \implies |x+1| > 2$

(4) $|x| \leq 2 \implies |x-1| < 3$

2. 解き方の手順

各命題について、左側の条件を満たす $x$ の集合を $P$、右側の条件を満たす $x$ の集合を $Q$ とします。

$P \subset Q$ ならば命題は真、$P \not\subset Q$ ならば命題は偽です。

(1)

$P = \{ x \mid 1 < x < 2 \}$

$Q = \{ x \mid 1 < x < 3 \}$

$P \subset Q$ なので、命題は真です。

(2)

$P = \{ x \mid x < 1 \}$

$Q = \{ x \mid 0 < x < 1 \}$

例えば、$x = -1$ は $x < 1$ を満たしますが、$0 < x < 1$ は満たしません。

したがって、$P \not\subset Q$ なので、命題は偽です。

(3)

$P = \{ x \mid x > 3 \}$

$Q = \{ x \mid |x+1| > 2 \}$

$|x+1| > 2$ は、$x+1 > 2$ または $x+1 < -2$ と同値なので、$x > 1$ または $x < -3$ となります。

$P = \{ x \mid x > 3 \}$

$Q = \{ x \mid x > 1 \text{ または } x < -3 \}$

$P \subset Q$ なので、命題は真です。

(4)

$P = \{ x \mid |x| \leq 2 \}$

$Q = \{ x \mid |x-1| < 3 \}$

$|x| \leq 2$ は $-2 \leq x \leq 2$ と同値です。

$|x-1| < 3$ は $-3 < x-1 < 3$ と同値なので、$-2 < x < 4$ となります。

$P = \{ x \mid -2 \leq x \leq 2 \}$

$Q = \{ x \mid -2 < x < 4 \}$

$P \subset Q$ なので、命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 真

(4) 真