$\sqrt{11}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, $a^2 - b^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{11}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, $a^2 - b^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{11}$ の整数部分 $a$ を求めます。

$3^2 = 9$ であり、$4^2 = 16$ であることから、$3 < \sqrt{11} < 4$ です。

したがって、$\sqrt{11}$ の整数部分は $a = 3$ です。

次に、$\sqrt{11}$ の小数部分 $b$ を求めます。

$\sqrt{11} = a + b$ であり、$a = 3$ であるから、$b = \sqrt{11} - 3$ です。

最後に、$a^2 - b^2$ の値を求めます。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ という因数分解の公式を利用します。

$a = 3$ であり、$b = \sqrt{11} - 3$ であるから、

$a+b = 3 + (\sqrt{11} - 3) = \sqrt{11}$

$a-b = 3 - (\sqrt{11} - 3) = 3 - \sqrt{11} + 3 = 6 - \sqrt{11}$

したがって、

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (\sqrt{11})(6 - \sqrt{11}) = 6\sqrt{11} - 11$

または、

$a^2 - b^2 = a^2 - (\sqrt{11}-a)^2$

$= a^2 - (11 - 2a\sqrt{11} + a^2)$

$= 2a\sqrt{11} - 11$

$a = 3$ より

$2(3)\sqrt{11} - 11 = 6\sqrt{11} - 11$

$a^2 - b^2 = 3^2 - (\sqrt{11} - 3)^2$

$= 9 - (11 - 6\sqrt{11} + 9)$

$= 9 - 20 + 6\sqrt{11}$

$= 6\sqrt{11} - 11$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{11} - 11$