問題13は、$(ax+2y+z)^5$を展開したとき、$x^2yz^2$ の項の係数が 96 になるように、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題13は、$(ax+2y+z)^5$を展開したとき、$x^2yz^2$ の項の係数が 96 になるように、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理より、$(ax+2y+z)^5$ の展開式における $x^2yz^2$ の項は、

$\frac{5!}{2!1!2!} (ax)^2 (2y)^1 (z)^2 = 30a^2 x^2 (2y) z^2 = 60a^2 x^2yz^2$ と表せます。

したがって、$x^2yz^2$ の項の係数は $60a^2$ となります。

問題文より、この係数が96であるから、$60a^2 = 96$ となります。

$a^2 = \frac{96}{60} = \frac{8}{5}$ となります。

したがって、$a = \pm\sqrt{\frac{8}{5}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{10}}{5}$となります。

3. 最終的な答え

$a = \pm\frac{2\sqrt{10}}{5}$