与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ を求め、a, b, c, d の値を答える問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ を求め、a, b, c, d の値を答える問題です。

2. 解き方の手順

2x2行列の逆行列は以下の公式で求められます。

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ のとき、

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

まず、行列 A の行列式を計算します。

$det(A) = (3)(1) - (2)(1) = 3 - 2 = 1$

次に、逆行列の公式に従って $A^{-1}$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

したがって、$a = 1$, $b = -2$, $c = -1$, $d = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -2$, $c = -1$, $d = 3$