$x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x+y = 6$ のとき、$4x^2 + 3xy + y^2 - 6x - 3y$ の最大値と最小値を求める。

## 問題１

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x+y = 6$ のとき、$4x^2 + 3xy + y^2 - 6x - 3y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$2x+y = 6$ より $y = 6 - 2x$ である。これを $4x^2 + 3xy + y^2 - 6x - 3y$ に代入する。

$$4x^2 + 3x(6 - 2x) + (6 - 2x)^2 - 6x - 3(6 - 2x) = 4x^2 + 18x - 6x^2 + 36 - 24x + 4x^2 - 6x - 18 + 6x = 2x^2 - 6x + 18 = 2(x^2 - 3x) + 18 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 18 = 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2}$$

ここで、$x \ge 0$, $y \ge 0$ であるから、$2x + y = 6$ より、$2x \le 6$ つまり $x \le 3$。

したがって、$0 \le x \le 3$ である。

$f(x) = 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2}$ とおく。

$f(x)$ は下に凸な二次関数である。

軸は $x = \frac{3}{2}$ であり、これは $0 \le x \le 3$ の範囲内にある。

$f(\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} = 13.5$

$f(0) = 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} + \frac{27}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$f(3) = 2(3 - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} = 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} + \frac{27}{2} = \frac{36}{2} = 18$

したがって、最大値は $18$, 最小値は $\frac{27}{2}$ である。

3. 最終的な答え

最大値: 18

最小値: $\frac{27}{2}$

## 問題２

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 4$ のとき、$x^2 - 2y^2 + 6x$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$x^2 + y^2 = 4$ より $x^2 = 4 - y^2$ である。

これを $x^2 - 2y^2 + 6x$ に代入する。

$4 - y^2 - 2y^2 + 6x = 4 - 3y^2 + 6x$

$x^2 + y^2 = 4$ より、$x = \pm \sqrt{4 - y^2}$。

したがって、$4 - 3y^2 \pm 6\sqrt{4 - y^2}$ の最大値と最小値を求める。

$y = 2\sin\theta$ とおくと、$x = 2\cos\theta$ となる。

よって、求める関数は、

$(2\cos\theta)^2 - 2(2\sin\theta)^2 + 6(2\cos\theta) = 4\cos^2\theta - 8\sin^2\theta + 12\cos\theta = 4\cos^2\theta - 8(1 - \cos^2\theta) + 12\cos\theta = 12\cos^2\theta + 12\cos\theta - 8 = 12(\cos^2\theta + \cos\theta) - 8 = 12(\cos\theta + \frac{1}{2})^2 - 3 - 8 = 12(\cos\theta + \frac{1}{2})^2 - 11$

ここで、$-1 \le \cos\theta \le 1$ である。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $-11$。

$\cos\theta = 1$ のとき、最大値 $12(1 + \frac{1}{2})^2 - 11 = 12(\frac{3}{2})^2 - 11 = 12 \cdot \frac{9}{4} - 11 = 27 - 11 = 16$

したがって、最大値は $16$, 最小値は $-11$ である。

3. 最終的な答え

最大値: 16

最小値: -11