数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ と初期条件 $a_1 = 2$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ と初期条件 $a_1 = 2$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を変形して、等比数列の形に持ち込みます。そのため、特性方程式 $x = 3x - 2$ を解きます。

$x = 3x - 2$ より、 $2x = 2$ なので、$x = 1$ となります。

次に、与えられた漸化式から $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ を得ます。

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比が 3 の等比数列であることがわかります。

$b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ なので、数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ となります。

$b_n = a_n - 1$ より、$a_n = b_n + 1$ なので、$a_n = 3^{n-1} + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1} + 1$