$\sqrt{35x}$ が整数となるような自然数 $x$ の値を小さい方から3つ求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{35x}$ が整数となるような自然数 $x$ の値を小さい方から3つ求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{35x}$ が整数になるためには、$35x$ がある整数の2乗になる必要があります。

まず、$35$ を素因数分解すると、$35 = 5 \times 7$ です。

$\sqrt{35x} = \sqrt{5 \times 7 \times x}$

$5 \times 7 \times x$ が整数の2乗になるためには、$x$ は少なくとも $5$ と $7$ を因数として持つ必要があります。

したがって、$x = 5 \times 7 \times k^2 = 35k^2$ (kは自然数)という形になります。

小さい方から3つの $x$ の値を求めるので、$k = 1, 2, 3$ を代入します。

$k=1$ のとき、$x = 35 \times 1^2 = 35$

$k=2$ のとき、$x = 35 \times 2^2 = 35 \times 4 = 140$

$k=3$ のとき、$x = 35 \times 3^2 = 35 \times 9 = 315$

3. 最終的な答え

求める自然数 $x$ の値は小さい方から順に、35, 140, 315 です。