与えられた等式 ${}_9C_5 = {}_7C_3 + 2 \cdot {}_7C_4 + {}_7C_5$ を証明する。

1. 問題の内容

与えられた等式 ${}_9C_5 = {}_7C_3 + 2 \cdot {}_7C_4 + {}_7C_5$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、組み合わせの定義を確認する。

${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

次に、パスカルの法則を確認する。

${}_nC_r + {}_nC_{r+1} = {}_{n+1}C_{r+1}$

上記の法則を用いて、右辺を変形していく。

${}_7C_3 + {}_7C_4 = {}_8C_4$

${}_7C_4 + {}_7C_5 = {}_8C_5$

したがって、右辺は以下のように変形できる。

${}_7C_3 + 2 \cdot {}_7C_4 + {}_7C_5 = ({}_7C_3 + {}_7C_4) + ({}_7C_4 + {}_7C_5) = {}_8C_4 + {}_8C_5$

パスカルの法則より、

${}_8C_4 + {}_8C_5 = {}_9C_5$

よって、

${}_7C_3 + 2 \cdot {}_7C_4 + {}_7C_5 = {}_9C_5$

左辺と右辺が一致することが示された。

3. 最終的な答え

${}_9C_5 = {}_7C_3 + 2 \cdot {}_7C_4 + {}_7C_5$

（証明終わり）