質点が力 $F_x = -\lambda e^{-ax}(1-e^{-ax})$ を受けて運動する。以下の問いに答えよ。 (1) ポテンシャルエネルギー $U = -\int F_x dx$ を求めよ。ただし、$x \to \infty$ で $U \to 0$ とする。 (2) ポテンシャルエネルギーの $x$ に関する1回微分、2回微分を計算し、極値点と変曲点の座標とそれらの点でのポテンシャルエネルギーの値を求め、増減表を作成せよ。 (3) ポテンシャルエネルギーの曲線を作図せよ。 (4) 初期状態 $x = -x_0$ に速度0で質点を置く。$x_0 > 0$ で、$x=-x_0$ でのポテンシャルエネルギーの値が負となるような位置とする。$x = -x_0$ での力 $F_x$ の値を求め、動き始める向きを求めよ。 (5) 質点が到達しうる最大の $x$ 座標を求めよ。ただし、$x = -x_0$ におけるポテンシャルエネルギーを $-U_0$ とする。 (6) 質点が運動する範囲を、(2)で求めた図に図示せよ。

1. 問題の内容

質点が力 $F_x = -\lambda e^{-ax}(1-e^{-ax})$ を受けて運動する。以下の問いに答えよ。

(1) ポテンシャルエネルギー $U = -\int F_x dx$ を求めよ。ただし、$x \to \infty$ で $U \to 0$ とする。

(2) ポテンシャルエネルギーの $x$ に関する1回微分、2回微分を計算し、極値点と変曲点の座標とそれらの点でのポテンシャルエネルギーの値を求め、増減表を作成せよ。

(3) ポテンシャルエネルギーの曲線を作図せよ。

(4) 初期状態 $x = -x_0$ に速度0で質点を置く。$x_0 > 0$ で、$x=-x_0$ でのポテンシャルエネルギーの値が負となるような位置とする。$x = -x_0$ での力 $F_x$ の値を求め、動き始める向きを求めよ。

(5) 質点が到達しうる最大の $x$ 座標を求めよ。ただし、$x = -x_0$ におけるポテンシャルエネルギーを $-U_0$ とする。

(6) 質点が運動する範囲を、(2)で求めた図に図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) ポテンシャルエネルギーを求める。

$U = -\int F_x dx = \int \lambda e^{-ax}(1-e^{-ax}) dx = \lambda \int (e^{-ax} - e^{-2ax}) dx$

$= \lambda \left( -\frac{1}{a} e^{-ax} + \frac{1}{2a} e^{-2ax} \right) + C = -\frac{\lambda}{a} e^{-ax} + \frac{\lambda}{2a} e^{-2ax} + C$

$x \to \infty$ で $U \to 0$ となるように積分定数 $C$ を決める。$x \to \infty$ のとき、$e^{-ax} \to 0$ なので、$0 = 0 + 0 + C$ より $C = 0$。

よって、$U = -\frac{\lambda}{a} e^{-ax} + \frac{\lambda}{2a} e^{-2ax}$

(2) ポテンシャルエネルギーの1回微分、2回微分を計算する。

$\frac{dU}{dx} = -\lambda e^{-ax}(1 - e^{-ax}) = F_x$

$\frac{d^2U}{dx^2} = \lambda a e^{-ax} (1 - e^{-ax}) + \lambda e^{-ax} (a e^{-ax}) = \lambda a e^{-ax} (1 - e^{-ax} + e^{-ax}) = \lambda a e^{-ax}$

極値点を求める。$\frac{dU}{dx} = 0$ となる $x$ を求める。

$-\lambda e^{-ax}(1 - e^{-ax}) = 0$ より、$e^{-ax} = 1$。よって、$x = 0$。

$x = 0$ のとき、$U = -\frac{\lambda}{a} + \frac{\lambda}{2a} = -\frac{\lambda}{2a}$。

変曲点を求める。$\frac{d^2U}{dx^2} = 0$ となる $x$ を求める。

$\lambda a e^{-ax} = 0$。これは、$x$ が有限の値では成り立たない。

$\lim_{x \to \infty} \frac{d^2U}{dx^2} = 0$。

しかし、$x \to \infty$ ではポテンシャルエネルギーは0に漸近するので、変曲点とは言えない。

増減表を作成する。

$\frac{dU}{dx} = -\lambda e^{-ax} (1 - e^{-ax})$

$x < 0$ のとき、$e^{-ax} > 1$ なので、$\frac{dU}{dx} > 0$。

$x > 0$ のとき、$e^{-ax} < 1$ なので、$\frac{dU}{dx} < 0$。

$\frac{d^2U}{dx^2} = \lambda a e^{-ax} > 0$ なので、常に下に凸。

| x | -∞ | | 0 | | ∞ |

| :---- | :---- | :---- | :------ | :---- | :---- |

| dU/dx | + | + | 0 | - | - |

| d2U/dx2 | + | + | + | + | + |

| U | -∞ | ↑ | -λ/2a | ↓ | 0 |

(3) グラフは増減表に従って描画する。$x \to -\infty$ で $U \to -\infty$、$x \to \infty$ で $U \to 0$。$x = 0$ で極小値 $-\lambda/2a$ を取る。常に下に凸。

(4) $x = -x_0$ での力 $F_x$ の値を求める。

$F_x(-x_0) = -\lambda e^{ax_0} (1 - e^{ax_0})$

$e^{ax_0} > 1$ なので、$1 - e^{ax_0} < 0$。したがって、$F_x(-x_0) > 0$。

$F_x$ は正なので、質点は正の方向に動き始める。

(5) 質点が到達しうる最大の $x$ 座標を $x_{max}$ とする。

エネルギー保存則より、$\frac{1}{2}mv^2 + U(x) = -U_0$。$x = -x_0$ で $U = -U_0$ かつ $v = 0$。

$x = x_{max}$ で $v = 0$ なので、$U(x_{max}) = -U_0$。

$-\frac{\lambda}{a} e^{-ax_{max}} + \frac{\lambda}{2a} e^{-2ax_{max}} = -U_0$

$e^{-ax_{max}} = y$ とおくと、

$-\frac{\lambda}{a} y + \frac{\lambda}{2a} y^2 = -U_0$

$\frac{\lambda}{2a} y^2 - \frac{\lambda}{a} y + U_0 = 0$

$y^2 - 2y + \frac{2aU_0}{\lambda} = 0$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - \frac{8aU_0}{\lambda}}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2aU_0}{\lambda}}$

$e^{-ax_{max}} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2aU_0}{\lambda}}$

$x_{max} = -\frac{1}{a} \ln \left( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2aU_0}{\lambda}} \right)$

$U_0$ を $\lambda, a, x_0$ で表す。

$-U_0 = U(-x_0) = -\frac{\lambda}{a} e^{ax_0} + \frac{\lambda}{2a} e^{2ax_0}$

$U_0 = \frac{\lambda}{a} e^{ax_0} - \frac{\lambda}{2a} e^{2ax_0}$

$x_{max} = -\frac{1}{a} \ln \left( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2a}{\lambda} \left( \frac{\lambda}{a} e^{ax_0} - \frac{\lambda}{2a} e^{2ax_0} \right)} \right)$

$= -\frac{1}{a} \ln \left( 1 \pm \sqrt{1 - 2 e^{ax_0} + e^{2ax_0}} \right)$

$= -\frac{1}{a} \ln \left( 1 \pm \sqrt{(1 - e^{ax_0})^2} \right)$

$= -\frac{1}{a} \ln \left( 1 \pm |1 - e^{ax_0}| \right)$

$x_0 > 0$ より、$e^{ax_0} > 1$ なので、$|1 - e^{ax_0}| = e^{ax_0} - 1$。

$x_{max} = -\frac{1}{a} \ln \left( 1 \pm (e^{ax_0} - 1) \right)$

$x_{max} = -\frac{1}{a} \ln (e^{ax_0}) = -x_0$ または $x_{max} = -\frac{1}{a} \ln (2 - e^{ax_0})$

$-x_0$ は初期位置なので、$x_{max} = -\frac{1}{a} \ln (2 - e^{ax_0})$

$2 - e^{ax_0} > 0$ でなければならないので、$e^{ax_0} < 2$ より $ax_0 < \ln 2$。

(6) 質点が運動する範囲は、$x=-x_0$ から $x = -\frac{1}{a} \ln (2 - e^{ax_0})$ までの範囲である。これをグラフに図示する。

3. 最終的な答え

(1) $U = -\frac{\lambda}{a} e^{-ax} + \frac{\lambda}{2a} e^{-2ax}$

(2) 極値点: $(0, -\frac{\lambda}{2a})$、変曲点: なし (ただし、$x\to\infty$で$d^2U/dx^2 \to 0$)。増減表は上記参照。

(3) グラフは上記説明参照。

(4) $F_x(-x_0) = -\lambda e^{ax_0} (1 - e^{ax_0}) > 0$、正の方向。

(5) $x_{max} = -\frac{1}{a} \ln (2 - e^{ax_0})$。ただし、$ax_0 < \ln 2$。

(6) $x = -x_0$ から $x = -\frac{1}{a} \ln (2 - e^{ax_0})$ までの範囲をグラフに図示。