2次方程式 $2x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係は、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$a = 2, b = -5, c = 3$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$

$\alpha \beta = \frac{3}{2}$

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて表す。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha + \beta = \frac{5}{2}$ と $\alpha \beta = \frac{3}{2}$ を代入して計算する。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\frac{5}{2})^3 - 3(\frac{3}{2})(\frac{5}{2})$

$= \frac{125}{8} - \frac{45}{4}$

$= \frac{125}{8} - \frac{90}{8}$

$= \frac{35}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{35}{8}$