大小中3個のサイコロを投げたとき、出た目の合計が8になる場合は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げたとき、出た目の合計が8になる場合は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

サイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とします。$x, y, z$は1から6までの整数です。

問題は、$x + y + z = 8$となる整数の組$(x, y, z)$の数を求める問題と言い換えられます。ただし、$1 \leq x \leq 6$, $1 \leq y \leq 6$, $1 \leq z \leq 6$を満たす必要があります。

まず、$x', y', z'$を以下のように定義します。

$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$

すると、$x', y', z'$は0以上の整数で、$0 \leq x' \leq 5$, $0 \leq y' \leq 5$, $0 \leq z' \leq 5$を満たします。

$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 8$

$x' + y' + z' = 5$

この方程式を満たす0以上の整数の組$(x', y', z')$の数を求めます。

$x', y', z'$には上限がないものとして考えます。

これは、5個の区別できないボールを3つの区別できる箱に入れる方法の数と同じです。

仕切りを使って考えると、5個のボールと2個の仕切りを並べる方法の数なので、$\binom{5+2}{2} = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通りとなります。

次に、$x', y', z'$が5以下という条件を考慮します。$x', y', z'$のいずれかが6以上になることはありません。例えば、$x' = 6$だとすると、$y' + z' = -1$となり、$y', z'$は0以上の整数なので、これは不可能です。同様に、$x', y', z'$のいずれかが6以上になることはありえません。

したがって、$x', y', z'$が0以上5以下の整数であるという条件は、自動的に満たされます。

したがって、条件を満たす整数の組は21通りです。

3. 最終的な答え

21通り