ある人が他の人に「総選挙がある」または「総選挙がない」という噂を伝えていく。噂を聞いた人が次に伝える際に、内容が変わる確率が与えられている。$n$ 人を経由した後の噂の状態を表すベクトル $x_n = \begin{bmatrix} \text{選挙ありの確率} \\ \text{選挙なしの確率} \end{bmatrix}$ を用いて、$x_n = Ax_{n-1}$ と表すとき、噂が次々に伝播していくと、「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合がそれぞれ一定値に近づくことを示す。

1. 問題の内容

ある人が他の人に「総選挙がある」または「総選挙がない」という噂を伝えていく。噂を聞いた人が次に伝える際に、内容が変わる確率が与えられている。$n$ 人を経由した後の噂の状態を表すベクトル $x_n = \begin{bmatrix} \text{選挙ありの確率} \\ \text{選挙なしの確率} \end{bmatrix}$ を用いて、$x_n = Ax_{n-1}$ と表すとき、噂が次々に伝播していくと、「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合がそれぞれ一定値に近づくことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ を求める。

問題文から、次の確率がわかる。

* 「総選挙がある」と聞いた人が、他者に「総選挙がある」と伝える確率は 0.8

* 「総選挙がある」と聞いた人が、他者に「総選挙がない」と伝える確率は 0.2

* 「総選挙がない」と聞いた人が、他者に「総選挙がある」と伝える確率は 0.3

* 「総選挙がない」と聞いた人が、他者に「総選挙がない」と伝える確率は 0.7

したがって、行列 $A$ は

$$A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$$

となる。

(2) 定常状態を求める。

定常状態では、$x_n$ が一定の値に収束するため、$x_n = x_{n-1} = x$ となる。

したがって、$x = Ax$ を満たす $x$ を求める。

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

とおくと、

$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

より、

$$x_1 = 0.8x_1 + 0.3x_2$$

$$x_2 = 0.2x_1 + 0.7x_2$$

これらの式は、どちらも $0.2x_1 = 0.3x_2$ となる。

また、$x_1 + x_2 = 1$ であるから、

$$x_1 = 1 - x_2$$

これを $0.2x_1 = 0.3x_2$ に代入すると、

$$0.2(1 - x_2) = 0.3x_2$$

$$0.2 - 0.2x_2 = 0.3x_2$$

$$0.5x_2 = 0.2$$

$$x_2 = \frac{0.2}{0.5} = \frac{2}{5} = 0.4$$

したがって、$x_1 = 1 - x_2 = 1 - 0.4 = 0.6$ となる。

3. 最終的な答え

したがって、「総選挙がある」と聞く人の割合は 0.6、「総選挙がない」と聞く人の割合は 0.4 にそれぞれ一定値に近づく。