9人を以下の3つの方法で分ける場合の数を求めます。 (1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる。 (2) 3人ずつの3組に分ける。 (3) 2人, 2人, 5人の3組に分ける。

1. 問題の内容

9人を以下の3つの方法で分ける場合の数を求めます。

(1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる。

(2) 3人ずつの3組に分ける。

(3) 2人, 2人, 5人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる場合

まず、9人から部屋Aに入れる3人を選ぶ場合の数は ${9 \choose 3}$通り。

次に、残りの6人から部屋Bに入れる3人を選ぶ場合の数は ${6 \choose 3}$通り。

最後に、残りの3人は部屋Cに入るので、${3 \choose 3}=1$通り。

よって、部屋A, B, Cに3人ずつ入れる場合の数は、

${9 \choose 3} \times {6 \choose 3} \times {3 \choose 3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1 = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$通り。

(2) 3人ずつの3組に分ける場合

まず、9人から3人を選ぶ場合の数は ${9 \choose 3}$通り。

次に、残りの6人から3人を選ぶ場合の数は ${6 \choose 3}$通り。

最後に、残りの3人は1つの組になるので、${3 \choose 3}=1$通り。

この場合、3つの組に区別がないため、3!で割る必要がある。

よって、3人ずつの3組に分ける場合の数は、

$\frac{{9 \choose 3} \times {6 \choose 3} \times {3 \choose 3}}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$通り。

(3) 2人, 2人, 5人の3組に分ける場合

まず、9人から5人を選ぶ場合の数は ${9 \choose 5}$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ場合の数は ${4 \choose 2}$通り。

最後に、残りの2人は1つの組になるので、${2 \choose 2}=1$通り。

この場合、2人の組が2つあるため、2!で割る必要がある。

よって、2人, 2人, 5人の3組に分ける場合の数は、

$\frac{{9 \choose 5} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2}}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{2} = \frac{\frac{9!}{5!2!2!}}{2} = \frac{126 \times 6}{2} = 126 \times 3 = 378$通り。

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

(3) 378通り