母平均が $\mu$、母分散が $\sigma^2$ である母集団からの無作為標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ に対して、標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ を考える。 (a) 期待値 $E(\bar{X})$ を求める。 (b) 分散 $V(\bar{X})$ を求める。

1. 問題の内容

母平均が $\mu$、母分散が $\sigma^2$ である母集団からの無作為標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ に対して、標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ を考える。

(a) 期待値 $E(\bar{X})$ を求める。

(b) 分散 $V(\bar{X})$ を求める。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E(\bar{X})$ を求める。

$E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)$

期待値の線形性より、

$E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i)$

各 $X_i$ は母集団からの標本であるため、$E(X_i) = \mu$ となる。

$E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n} (n\mu) = \mu$

(b) 分散 $V(\bar{X})$ を求める。

$V(\bar{X}) = V\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} V\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)$

$X_1, X_2, ..., X_n$ は独立な標本であるため、

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(X_i)$

各 $X_i$ は母集団からの標本であるため、$V(X_i) = \sigma^2$ となる。

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{1}{n^2} (n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}$

3. 最終的な答え

(a) $E(\bar{X}) = \mu$

(b) $V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$