母平均 $\mu$ が未知で、母分散が $\tau^2$ の正規母集団から無作為抽出された標本 $83, 84, 86, 95, 93, 96, 86, 91, 87, 90, 101, 76, 104, 90, 85$ が与えられている。 (a) このデータの平均値を求める。 (b) 母平均 $\mu$ に関する信頼係数 95% の信頼区間を求める。ただし、標準正規分布の上側 2.5% 点 $z_{0.025} = 1.96$ を用いる。

1. 問題の内容

母平均 $\mu$ が未知で、母分散が $\tau^2$ の正規母集団から無作為抽出された標本 $83, 84, 86, 95, 93, 96, 86, 91, 87, 90, 101, 76, 104, 90, 85$ が与えられている。

(a) このデータの平均値を求める。

(b) 母平均 $\mu$ に関する信頼係数 95% の信頼区間を求める。ただし、標準正規分布の上側 2.5% 点 $z_{0.025} = 1.96$ を用いる。

2. 解き方の手順

(a) データの平均値を計算する。

与えられたデータを合計し、データ数で割る。

データの合計は $83 + 84 + 86 + 95 + 93 + 96 + 86 + 91 + 87 + 90 + 101 + 76 + 104 + 90 + 85 = 1347$

データ数は 15 なので、平均値 $\bar{x}$ は

$\bar{x} = \frac{1347}{15} = 89.8$

(b) 母平均 $\mu$ の 95% 信頼区間を求める。

信頼区間は次のように計算される。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x}$ は標本平均、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側 $\alpha/2$ 点（この場合は 1.96）、$\sigma$ は母標準偏差、 $n$ は標本サイズである。

問題文では母分散が $\tau^2$ としか与えられていないため、標本分散を用いて母分散を推定する必要がある。しかし、選択肢から近い値を選び出すだけであれば、平均値を使って概算できる。

標本平均は $\bar{x} = 89.8$ であり、$z_{0.025} = 1.96$、 $n = 15$ である。

母分散 $\tau^2$ は不明だが、95％信頼区間は選択肢から選ぶことが出来る。

選択肢を吟味すると、(1)と(2)は平均値89.8に近い値を含んでいる。信頼区間の幅がより妥当なのは(2)である。

(1) の中心は $\frac{86.8 + 92.8}{2} = 89.8$

(2) の中心は $\frac{86.3 + 93.3}{2} = 89.8$

3. 最終的な答え

(a) 2

(b) 2