母平均 $p$、母分散 $p(1-p)$ のベルヌーイ母集団からのサイズ3の標本変量 $X_1, X_2, X_3$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1 + X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ を考える。 (a) 期待値 $E(T_1), E(T_2), E(T_3)$ の大小関係について正しいものを選ぶ。 (b) 分散 $V(T_1), V(T_2), V(T_3)$ の大小関係について正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

母平均 $p$、母分散 $p(1-p)$ のベルヌーイ母集団からのサイズ3の標本変量 $X_1, X_2, X_3$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1 + X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ を考える。

(a) 期待値 $E(T_1), E(T_2), E(T_3)$ の大小関係について正しいものを選ぶ。

(b) 分散 $V(T_1), V(T_2), V(T_3)$ の大小関係について正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(a) 期待値について

ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i$ の期待値は $E[X_i] = p$ である。

$E[T_1] = E[X_1] = p$

$E[T_2] = E[\frac{X_1 + X_2}{2}] = \frac{1}{2}(E[X_1] + E[X_2]) = \frac{1}{2}(p + p) = p$

$E[T_3] = E[\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}] = \frac{1}{3}(E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]) = \frac{1}{3}(p + p + p) = p$

したがって、$E[T_1] = E[T_2] = E[T_3] = p$ である。

よって、選択肢④が正しい。問題文には答えが2と書いてあるが、これは誤りである。

(b) 分散について

ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i$ の分散は $V[X_i] = p(1-p)$ である。

$V[T_1] = V[X_1] = p(1-p)$

$V[T_2] = V[\frac{X_1 + X_2}{2}] = \frac{1}{4}(V[X_1] + V[X_2]) = \frac{1}{4}(p(1-p) + p(1-p)) = \frac{1}{2}p(1-p)$

$V[T_3] = V[\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}] = \frac{1}{9}(V[X_1] + V[X_2] + V[X_3]) = \frac{1}{9}(p(1-p) + p(1-p) + p(1-p)) = \frac{1}{3}p(1-p)$

$V[T_1] = p(1-p)$

$V[T_2] = \frac{1}{2}p(1-p)$

$V[T_3] = \frac{1}{3}p(1-p)$

明らかに、$V[T_1] > V[T_2] > V[T_3]$ である。

よって、選択肢③が正しい。

3. 最終的な答え

(a) 期待値について：④

(b) 分散について：③