9人を以下の方法で分ける場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる。 (2) 3人ずつの3組に分ける。 (3) 2人、2人、5人の3組に分ける。

1. 問題の内容

9人を以下の方法で分ける場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる。

(2) 3人ずつの3組に分ける。

(3) 2人、2人、5人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる場合

まず、9人から部屋Aに入れる3人を選ぶ組み合わせは $_9C_3$通り。

次に、残りの6人から部屋Bに入れる3人を選ぶ組み合わせは $_6C_3$通り。

最後に、残りの3人から部屋Cに入れる3人を選ぶ組み合わせは $_3C_3$通り。

したがって、求める場合の数は、

$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$通り。

(2) 3人ずつの3組に分ける場合

まず、9人から最初の3人を選ぶ組み合わせは $_9C_3$通り。

次に、残りの6人から次の3人を選ぶ組み合わせは $_6C_3$通り。

最後に、残りの3人から最後の3人を選ぶ組み合わせは $_3C_3$通り。

3つの組には区別がないので、3!で割る必要がある。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{1}{3!} \times \frac{9!}{(3!)^3} = \frac{1}{6} \times 1680 = 280$通り。

(3) 2人、2人、5人の3組に分ける場合

まず、9人から5人を選ぶ組み合わせは $_9C_5$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2$通り。

2人の組が2つあるため、2!で割る必要がある。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_9C_5 \times _4C_2 \times _2C_2}{2!} = \frac{1}{2!} \times \frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{1}{2} \times \frac{9!}{5!2!2!} = \frac{1}{2} \times \frac{362880}{120 \times 2 \times 2} = \frac{1}{2} \times \frac{362880}{480} = \frac{1}{2} \times 756 = 378$通り。

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

(3) 378通り