実数全体の集合を全体集合とする。その部分集合として $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $B = \{x | 6 \le x \le a\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ がある。$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \ne \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求める。

1. 問題の内容

実数全体の集合を全体集合とする。その部分集合として $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $B = \{x | 6 \le x \le a\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ がある。$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \ne \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求める。

$\overline{A} = \{x | x < 7 \text{ または } x > 13\}$

$\overline{B} = \{x | x < 6 \text{ または } x > a\}$

したがって、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x < 6\} \cup \{x | x > \max(a, 13)\}$ となる。

次に、$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \ne \emptyset$ という条件を考える。これは、$\overline{A} \cap \overline{B}$ と $C$ が共通部分を持つということである。

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C = (\{x | x < 6\} \cup \{x | x > \max(a, 13)\}) \cap \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$

この共通部分が存在するためには、次のいずれかが成り立つ必要がある。

(1) $\frac{a}{2} \le x < 6$ となる $x$ が存在する。つまり、$\frac{a}{2} < 6$

(2) $\max(a, 13) < x \le 17$ となる $x$ が存在する。つまり、$\max(a, 13) < 17$

(1) より、$\frac{a}{2} < 6$ なので、$a < 12$

(2) より、$\max(a, 13) < 17$ なので、$a < 17$ かつ $13 < 17$。したがって、$a < 17$

(1)または(2)が成立すればよいので、$a < 17$

ただし、$a$は自然数であるから$a \ge 1$

$a \le 16$

したがって、$a$は1から16までの自然数。

しかし、$C$の定義より、$\frac{a}{2} \le 17$である必要がある。これは$a \le 34$なので、条件を満たしている。

$A = \{x|7 \leq x \leq 13\}$なので$\overline{A}=\{x| x<7 \text{ or } x>13 \}$

$B = \{x|6 \leq x \leq a\}$なので$\overline{B}=\{x| x<6 \text{ or } x>a \}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x|x < 6\} \cup \{x| x > \max(a,13) \}$

$C = \{x|\frac{a}{2} \leq x \leq 17\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$であるための条件は、

$\frac{a}{2} < 6$または$a < 17$

$a < 12$または$a < 17$

$1 \leq a \leq 16$となる自然数の個数は16個

3. 最終的な答え

16