3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 4x + 10 = 0$ を解き、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 4x + 10 = 0$ を解き、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項が10なので、解の候補は $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$ です。

$x=-1$ を代入してみると、

$(-1)^3 - 5(-1)^2 + 4(-1) + 10 = -1 - 5 - 4 + 10 = 0$

となるので、$x = -1$ は解の一つです。

したがって、$x+1$ は $x^3 - 5x^2 + 4x + 10$ の因数となります。

多項式 $x^3 - 5x^2 + 4x + 10$ を $x+1$ で割ると、次のようになります。

$x^3 - 5x^2 + 4x + 10 = (x+1)(x^2 - 6x + 10)$

次に、二次方程式 $x^2 - 6x + 10 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 2i}{2}$

$x = 3 \pm i$

したがって、3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 4x + 10 = 0$ の解は $x = -1, 3 + i, 3 - i$ です。

3. 最終的な答え

$x = -1, 3+i, 3-i$