実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $B = \{x | 6 \le x \le a\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ について考える。$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $B = \{x | 6 \le x \le a\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ について考える。$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$と$\overline{B}$を求める。

$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$より、$\overline{A} = \{x | x < 7 \text{ or } x > 13 \}$

$B = \{x | 6 \le x \le a\}$より、$\overline{B} = \{x | x < 6 \text{ or } x > a \}$

$\overline{A} \cap \overline{B}$を求める。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x < 6 \text{ or } x > a \text{ or } x > 13\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ となる条件を考える。

$C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ であるから、$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ となるのは、

$\frac{a}{2} \le x \le 17$ を満たす $x$ が $\overline{A} \cap \overline{B}$ に含まれる必要がある。

(1) $x<6$の場合

$\frac{a}{2} \le x < 6$となる必要がある。したがって、$\frac{a}{2} < 6$より、$a < 12$

(2) $x>a$の場合

$a < x \le 17$となる必要がある。したがって、$a < 17$

(3) $x>13$の場合

$13 < x \le 17$となる必要がある。したがって、$\frac{a}{2} \le 13 < 17$であり、$a \le 26$

(1) $a < 12$ のとき、$a$ は自然数なので、$a = 1, 2, \dots, 11$

(2) $12 \le a \le 26$ のとき、$C$ は $\{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ である。

このとき、$a < 17$ は常に満たされる。

$C$ が $x > 13$ の範囲を含むためには、$13 < 17$が成り立つ必要がある。

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ となるためには、少なくとも一つの $x$ が $\overline{A}$ と $\overline{B}$ と $C$ に含まれている必要がある。

もし $6 \le a < 12$ ならば、$C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ であり、$\frac{a}{2} < 6$ を満たすため、$x < 6$ となる $x$ が $C$ に存在する。したがって、$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ となる。

もし $12 \le a \le 26$ ならば、$6 \le \frac{a}{2} \le 13$ となり、$7 \le x \le 13$ の範囲で $A$ と重なる可能性があるので、$\overline{A} \cap C$ が空集合になる場合がある。しかし、$x > 13$ の範囲は常に存在する。つまり、$13 < x \le 17$ が常に存在するので、$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ となる。

結局、$a$ は自然数で、$a \le 26$であれば良い。また、$B = \{x | 6 \le x \le a\}$ なので、$a \ge 6$でなければならない。

$6 \le a \le 26$ となる自然数 $a$ の個数は、$26 - 6 + 1 = 21$ である。

3. 最終的な答え

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