次の式を計算し、簡単にしてください。 $\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}}$

1. 問題の内容

次の式を計算し、簡単にしてください。

$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}}$

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役な複素数を分子と分母に掛けます。しかし、今回は分母が複素数ではありません。代わりに、二重根号を解消することを試みます。

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

したがって、

$\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}}{6}$