実数全体を全体集合とし、その部分集合を $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $B = \{x | 6 \le x \le a\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ とする。$\bar{A} \supset B$ かつ $A \cap C \neq \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求める。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、その部分集合を $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$, $B = \{x | 6 \le x \le a\}$, $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ とする。$\bar{A} \supset B$ かつ $A \cap C \neq \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\bar{A} \supset B$ という条件を考えます。

$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$ より $\bar{A} = \{x | x < 7 \text{ or } x > 13\}$ です。

$B = \{x | 6 \le x \le a\}$ なので、$\bar{A} \supset B$ という条件は、BがAの補集合に含まれるということです。つまり、$x < 7$ の部分に $6 \le x$ の範囲が入り、$x > 13$ の部分に $x \le a$ の範囲が入るということです。

$6 \le x$ は常に $x < 7$ を満たすので、$a \le 13$ である必要があります。

次に、$A \cap C \neq \emptyset$ という条件を考えます。

$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$ かつ $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ なので、$A \cap C \neq \emptyset$ となるためには、区間 $[7, 13]$ と $[\frac{a}{2}, 17]$ が共通部分を持つ必要があります。

つまり、$7 \le 17$ は常に成り立つので、$13 \ge \frac{a}{2}$ が成り立つ必要があります。

よって、$a \le 26$ となります。

以上より、$a \le 13$ かつ $a \le 26$ なので、$a \le 13$ が必要です。

また、$B$ は区間 $\{x | 6 \le x \le a\}$ であり、$C$ は区間 $\{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ であることから、$a$ は $6 \le a$ を満たす必要があります。

$A \cap C \neq \emptyset$ より $\frac{a}{2} \le 13$ が成り立つ必要があるので、$a \le 26$ です。

$7 \le x \le 13$ に $x$ が存在し、かつ $\frac{a}{2} \le x \le 17$ にも存在する必要があるため、$7 \le 17$ は満たされており、$13 \ge \frac{a}{2}$ である必要がある。よって、$26 \ge a$

$\bar{A} \supset B$ より、$B \subset \bar{A}$ が成り立つ必要がある。

$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$ より $\bar{A} = \{x | x < 7 \text{ or } x > 13\}$ であるから、$B = \{x | 6 \le x \le a\}$ より、$a \le 6$ または $a > 13$ である必要がある。しかし、$6 \le a$ という条件があるので、$a > 13$ はありえない。よって、$a < 7$ という条件になるはずだが、$6 \le a$ なので、$a \le 6$ はありえない。

$6 \le a \le 26$ かつ $a \le 13$ なので $6 \le a \le 13$ です。

$a$ は自然数なので、$a = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13$ の8個です。

しかし、$\bar{A} \supset B$ という条件が抜けているので、これを考慮する必要があります。

$6 \le a \le 13$ の場合、$B$ は $A$ の部分集合ではありません。したがって、$B$ は $\bar{A}$ に含まれることはありません。

$7 \le a/2 \le 13$ ということで $14 \le a \le 26$

したがって $14 \le a \le 26$ かつ $a \le 13$ は同時に満たせません。

誤りがあるので訂正します。

$A = \{x|7 \le x \le 13\}$、$B = \{x|6 \le x \le a\}$、$\bar{A} = \{x|x<7 \cup x>13 \}$

$B \subset \bar{A}$ということは $6 \le x \le a < 7$ または $13 < 6 \le x \le a$ である。

しかし $6 \le a$ なので、$a < 7$はありえない。したがって、$x > 13$ となるので、$a > 13$ 。

$A \cap C \neq \phi$ は $7 \le x \le 13$ と $a/2 \le x \le 17$　の共通部分が存在するということなので、$a/2 < 13$ という条件と $7 < a/2$ という条件が必要になる。

$7 \le a/2 \le 13$ ならば $14 \le a \le 26$ なので、$a>13$ は満たすので $14 \le a \le 26$

$a$ が自然数なので$14, 15, ..., 26$ よって$26 - 14 + 1 = 13$ 個

3. 最終的な答え

13個