全体集合 $U$ の部分集合 $A = \{2, 4, a^2+1\}$ と $B = \{4, a+7, a^2-4a+5\}$ が与えられている。$A \cap B^c = \{2, 5\}$ となるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A = \{2, 4, a^2+1\}$ と $B = \{4, a+7, a^2-4a+5\}$ が与えられている。$A \cap B^c = \{2, 5\}$ となるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B^c$ は集合 $A$ から集合 $B$ に含まれる要素を取り除いた集合を表します。

$A \cap B^c = \{2, 5\}$ であることから、以下のことが言えます。

* $2 \in A$ かつ $2 \notin B$

* $5 \in A$ かつ $5 \notin B$

* $4 \in A$ かつ $4 \in B$

* $a^2+1 \in A$

$A = \{2, 4, a^2+1\}$ であり、$A \cap B^c = \{2, 5\}$ であるので、$a^2+1 = 5$ である必要があります。

$a^2+1 = 5$ を解くと、

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

となります。

次に、$B = \{4, a+7, a^2-4a+5\}$ について考えます。

$4 \in A$ かつ $4 \in B$ なので、$4 \in A \cap B$ となります。

$A \cap B^c = \{2, 5\}$ より、 $A \cap B = \{4\}$ となります。

* $a=2$ のとき

$B = \{4, 2+7, 2^2-4\times2+5\} = \{4, 9, 1\}$ となり、$A=\{2, 4, 5\}$、$A \cap B = \{4\}$。$A \cap B^c = \{2,5\}$ を満たします。

* $a=-2$ のとき

$B = \{4, -2+7, (-2)^2-4\times(-2)+5\} = \{4, 5, 4+8+5\} = \{4, 5, 17\}$ となり、$A=\{2, 4, 5\}$、$A \cap B = \{4, 5\}$。$A \cap B^c = \{2\}$ になり、$A \cap B^c = \{2,5\}$ を満たしません。

したがって、$a = 2$ のみが条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = 2$