大小中3つのサイコロを投げたとき、出た目の合計が8になる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

大小中3つのサイコロを投げたとき、出た目の合計が8になる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、大、中、小のサイコロの出目をそれぞれ$x, y, z$とします。

$x, y, z$はそれぞれ1から6までの整数です。

問題は、$x + y + z = 8$を満たす整数の組$(x, y, z)$の数を求める問題として定式化できます。ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$を満たす必要があります。

まずは、制約を無視して、$x', y', z' = x-1, y-1, z-1$と置くと、$x', y', z' \ge 0$となります。

$x + y + z = 8$は、$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 8$となるので、$x' + y' + z' = 5$となります。

この非負整数の解の総数は、重複組み合わせの公式より、

$_{3}H_{5} = _{3+5-1}C_{5} = _{7}C_{5} = _{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通りです。

しかし、これでは$x, y, z$が6以下であるという制約を満たしていないものも含まれます。

$x' \ge 6$となるのは、$x \ge 7$なのであり得ません。同様に、$y' \ge 6$や$z' \ge 6$も起こりません。

よって、$x' \ge 6$, $y' \ge 6$, $z' \ge 6$となるケースを考える必要はありません。

したがって、条件を満たす場合の数は21通りです。

$x = 1$のとき、$y + z = 7$となるのは$(y,z) = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$の6通り。

$x = 2$のとき、$y + z = 6$となるのは$(y,z) = (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$の5通り。

$x = 3$のとき、$y + z = 5$となるのは$(y,z) = (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$の4通り。

$x = 4$のとき、$y + z = 4$となるのは$(y,z) = (1,3),(2,2),(3,1)$の3通り。

$x = 5$のとき、$y + z = 3$となるのは$(y,z) = (1,2),(2,1)$の2通り。

$x = 6$のとき、$y + z = 2$となるのは$(y,z) = (1,1)$の1通り。

合計すると、$6+5+4+3+2+1 = 21$通り。

3. 最終的な答え

21通り