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次の式を展開せよ。 (1) $(x+1)^3$ (2) $(x+2y)^3$ (3) $(x-2)^3$ (4) $(3x-2y)^3$

代数学展開二項定理多項式
2025/5/20

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。
(1) (x+1)3(x+1)^3
(2) (x+2y)3(x+2y)^3
(3) (x−2)3(x-2)^3
(4) (3x−2y)3(3x-2y)^3

2. 解き方の手順

(1) (x+1)3(x+1)^3
二項定理または公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 を利用する。
a=xa = x, b=1b = 1 とすると、
(x+1)3=x3+3x2(1)+3x(1)2+13(x+1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3
=x3+3x2+3x+1= x^3 + 3x^2 + 3x + 1
(2) (x+2y)3(x+2y)^3
二項定理または公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 を利用する。
a=xa = x, b=2yb = 2y とすると、
(x+2y)3=x3+3x2(2y)+3x(2y)2+(2y)3(x+2y)^3 = x^3 + 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 + (2y)^3
=x3+6x2y+3x(4y2)+8y3= x^3 + 6x^2y + 3x(4y^2) + 8y^3
=x3+6x2y+12xy2+8y3= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3
(3) (x−2)3(x-2)^3
二項定理または公式 (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 を利用する。
a=xa = x, b=2b = 2 とすると、
(x−2)3=x3−3x2(2)+3x(2)2−23(x-2)^3 = x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3
=x3−6x2+3x(4)−8= x^3 - 6x^2 + 3x(4) - 8
=x3−6x2+12x−8= x^3 - 6x^2 + 12x - 8
(4) (3x−2y)3(3x-2y)^3
二項定理または公式 (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 を利用する。
a=3xa = 3x, b=2yb = 2y とすると、
(3x−2y)3=(3x)3−3(3x)2(2y)+3(3x)(2y)2−(2y)3(3x-2y)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2 - (2y)^3
=27x3−3(9x2)(2y)+3(3x)(4y2)−8y3= 27x^3 - 3(9x^2)(2y) + 3(3x)(4y^2) - 8y^3
=27x3−54x2y+36xy2−8y3= 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3

3. 最終的な答え

(1) x3+3x2+3x+1x^3 + 3x^2 + 3x + 1
(2) x3+6x2y+12xy2+8y3x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3
(3) x3−6x2+12x−8x^3 - 6x^2 + 12x - 8
(4) 27x3−54x2y+36xy2−8y327x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3

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